MEDIDAS DE DISPERSIÓN

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Las medidas de dispersión muestran la variabilidad de una distribución, indicándolo por medio de un número, si las diferentes puntuaciones de una variable están muy alejadas de la media. Cuanto mayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea, más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos son parecidos o varían mucho entre ellos.

Para calcular la variabilidad que una distribución tiene respecto de su media, se calcula la media de las desviaciones de las puntuaciones respecto a la media aritmética. Pero la suma de las desviaciones es siempre cero, así que se adoptan dos clases de estrategias para salvar este problema. Una es tomando las desviaciones en valor absoluto (desviación media) y otra es tomando las desviaciones al cuadrado (varianza).

Rango estadístico

El rango estadístico es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un grupo de números aleatorios. Se le suele simbolizar con R.

Requisitos del rango

• Ordenamos los números según su tamaño.
• Restamos al valor máximo el valor mínimo.

${\displaystyle Rango={(Max-Min)}}$

Ejemplo 

Para la muestra (8, 7, 6, 9, 4, 3, 2, 5), el dato menor es 2 y el dato mayor es 9. Sus valores se encuentran en un rango de:

${\displaystyle Rango=(9-2)=7}$

Rango medio:

El medio rango o rango medio de un conjunto de valores numéricos es la media del mayor y menor valor. En consecuencia, el medio rango es:

${\displaystyle medioRango={\frac {\ (Max+Min)}{2}}}$

Ejemplo

Para una muestra de valores (3, 3, 5, 6, 8), el dato de menor valor Min= 3 y el dato de mayor valor Max= 8. El medio rango resolviéndolo mediante la correspondiente fórmula sería:

${\displaystyle medioRango={\frac {\ (8+3)}{2}}=5.5}$

Representación del medio rango: 

Varianza 

La varianza es una medida estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media), es decir, es el cuadrado de las desviaciones: ${\displaystyle S_{X}^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})^{2}}{n-1}}}$

Desviación típica 

El resultado de la varianza a veces no es fácil de interpretar, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitar ese problema se define otra medida de dispersión, que es la desviación típica, o desviación estándar, que se halla como la raíz cuadrada positiva de la varianza. La desviación típica informa sobre la dispersión de los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos. Esta medida viene representada en la mayoría de los casos por S, dado que es la inicial de su nominación en inglés.

Desviación típica muestral

Covarianza 

La covarianza entre dos variables es un estadístico resumen indicador de si las puntuaciones están relacionadas entre sí. La formulación clásica, se simboliza por la letra griega sigma (σ) cuando ha sido calculada en la población. Si se obtiene sobre una muestra, se designa por la letra "${\displaystyle s_{xy}}$".

La fórmula suele aparecer expresada como:

${\displaystyle {\hat {S}}_{xy}={\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}{n-1}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-{\bar {X}})(Y_{i}-{\bar {Y}})}{n-1}}}$

Este tipo de estadístico puede utilizarse para medir el grado de relación entre dos variables si ambas utilizan una escala de medida a nivel de intervalo/razón (variables cuantitativas).

La expresión se resuelve promediando el producto de las puntuaciones diferenciales por su tamaño muestral (n pares de puntuaciones, n-1 en su forma insesgada).

Este estadístico, refleja la relación lineal que existe entre dos variables. El resultado numérico fluctúa entre los rangos de +infinito a -infinito. Al no tener unos límites establecidos no puede determinarse el grado de relación lineal que existe entre las dos variables, solo es posible ver la tendencia.

Coeficiente de correlación de pearson 

El coeficiente de correlación de Pearson, r, permite saber si el ajuste de la nube de puntos a la recta de regresión obtenida es satisfactorio. Se define como el cociente entre la covarianza y el producto de las desviaciones típicas (raíz cuadrada de las varianzas).

${\displaystyle r={\frac {V_{xy}}{\sqrt {V_{x}V_{y}}}}={\frac {S_{xy}}{\sqrt {S_{x}^{2}S_{y}^{2}}}}={\frac {S_{xy}}{S_{x}S_{y}}}}$

$$